DINAMIKA ROTASI DAN MOMEN INERSIA "LENGKAP"

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

Torsi/momen gaya

Torsi atau momen gaya adalah hasil kali antara gaya F dan lengan momennya. Torsi dilambangkan dengan lambang .

Satuan dari torsi adalah Nm (Newton meter).

 Perjanjian tanda untuk MOMEN GAYA.

* Momen gaya yang searah jarum jam bertanda POSITIF.

* Momen gaya yang berlawanan arah jarum jam bertanda NEGATIF.

Momen inersia

Momen inersia adalah hasil kali partikel massa dengan kuadrat jarak tegak lurus partikel dari titik poros.




Satuan dari momen inersia adalah kg m² (Kilogram meter kuadrat).
Besaran momen inersia dari beberapa benda.

Benda	Poros	Gambar	Momen inersia
Batang silinder	Poros melalui pusat
Batang silinder	poros melalui ujung
Silinder berongga	Melalui sumbu
Silinder pejal	Melalui sumbu
Silinder pejal	Melintang sumbu
Bola pejal	Melalui diameter
Bola pejal	Melalui salahsatu garis singgung
Bola berongga	Melalui diameter

Hubungan antara torsi dengan momen inersia

Hukum II Newton tentang rotasi

Keterangan:

• I : momen inersia (kg m²)
• α : percepatan sudut (rad/s²)
•  : torsi (Nm)

Titik Berat

 a. Titik berat benda homogen satu dimensi (garis)
Untuk benda-benda berbentuk memanjang seperti kawat , massa benda dianggap diwakili oleh panjangnya (satu dimensi) dan titik beratnya dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:


b. Titik berat benda-benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)
Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat ditentukan dengan persamaan berikut:­

Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik berat diperpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homegen di perlihatkan pada tabel

berikut:

c. Titik berat benda-benda homogen berdimensi tigaLetak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga dapat ditentukan dengan persamaan:




Cara mencarinya:

1. Segiempat, benda prisma, lingkaran, dan bola: pasti di tengah tengah
2. Segitiga dan Benda Limas:

• Luasan = 1/3 t dari alas
• Pejal = 1/4 t dari alas

     3.  Bagian lingkaran dan Bola:

• Busur = Tali busur : juring x R
• Juring = tali busur : busur x 2/3 R
• Separuh kulit = 1/2 R
• Separuh pejal = 3/8 R

titik berat

Telah dikatakan sebelumnya bahwa suatu benda tegar dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) dan gerak rotasi. Benda tegar akan melakukan gerak translasi apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai suatu titik yang yang disebut titik berat.

Benda akan seimbang jika pas diletakkan di titik beratnya

Titik berat merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan lintasan gerak dari titik berat ini menggambarkan lintasan gerak translasinya.

Mari kita tinjau suatu benda tegar, misalnya tongkat pemukul kasti, kemudian kita lempar sambil sedikit berputar. Kalau kita perhatikan secara aeksama, gerakan tongkat pemukul tadi dapat kita gambarkan seperti membentuk suatu lintasan dari gerak translasi yang sedang dijalani dimana pada kasus ini lintasannya berbentuk parabola. Tongkat ini memang berputar pada porosnya, yaitu tepat di titik beratnya. Dan, secara keseluruhan benda bergerak dalam lintasan parabola. Lintasan ini merupakan lintasan dari posisi titik berat benda tersebut.

Demikian halnya seorang peloncat indah yang sedang terjun ke kolam renang. Dia melakukan gerak berputar saat terjun. sebagaimana tongkat pada contoh di atas, peloncat indah itu juga menjalani gerak parabola yang bisa dilihat dari lintasan titik beratnya. Perhatikan gambar berikut ini.

seorang yang meloncat ke air dengan berputar

Jadi, lintasan gerak translasi dari benda tegar dapat ditinjau sebagai lintasan dari letak titik berat benda tersebut. Dari peristiwa ini tampak bahwa peranan titik berat begitu penting dalam menggambarkan gerak benda tegar.

Cara untuk mengetahui letak titik berat suatu benda tegar akan menjadi mudah untuk benda-benda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus, balok, bujur sangkar, bola dan lain-lain. Yaitu d sama dengan letak sumbu simetrinya. Hal ini jelas terlihat pada contoh diatas bahwa letak titik berat sama dengan sumbu rotasi yang tidak lain adalah sumbu simetrinya.

Orang ini berada dalam keseimbangan

Di sisi lain untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang letak titik berat dicari dengan perhitungan. Perhitungan didasarkan pada asumsi bahwa kita dapat mengambil beberapa titik dari benda yang ingin dihitung titik beratnya dikalikan dengan berat di masing-masing titik kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah berat pada tiap-tiap titik. dikatakan titik berat juga merupakan pusat massa di dekat permukaan bumi, namun untuk tempat yang ketinggiannya tertentu di atas bumi titik berat dan pusat massa harus dibedakan

TITIK BERAT

Setiap partikel dalam suatu benda memiliki berat. Berat seluruh benda adalah resultan dari semua gaya gravitasi berarah vertikal ke bawah dari semua partikel ini. Rersultan ini bekerja melalui suatu titik tunggal, yang disebut titik berat (Pusat gravitasi)
Koordinat titik berat dapat dihitung dengan rumus sbb :

Bila benda berada pada medan gravitasi yang homogen, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

Untuk benda dalam satu dimensi rumus diatas dapat ditulis menjadi :

Untuk benda dalam dua dimensi rumus diatas dapat ditulis menjadi :

Untuk benda dalam tiga dimensi rumus diatas dapat ditulis menjadi :

Contoh Soal:

1. Sebuah ember berikut isinya bermassa m = 20 kg dihubungkan dengan tali pada sebuah katrol berbentuk silinder pejal bermassa M = 10 kg. Ember mula-mula ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepaskan.
   
   
   
   Jika jari-jari katrol 25 cm dan percepatan gravitasi bumi 10 m/s² tentukan :
   a) percepatan gerak turunnya benda m
   b) percepatan sudut katrol
   c) tegangan tali
   
   
   Pembahasan
   a) percepatan gerak turunnya benda m
   
   Tinjau katrol :
   
   
   
   (Persamaan 1)
   
   Tinjau benda m :
   
   
   
   (Persamaan 2)
   
   Gabung 1 dan 2:
   
   
   
   b) percepatan sudut katrol
   
   c) tegangan tali
   
   
   

2. Dua buah ember dihubungkan dengan tali dan katrol berjari-jari 10 cm, ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepas seperti gambar berikut!
   
   
   
   Jika massa m₁ = 5 kg , m₂ = 3 kg dan massa katrol M = 4 kg, tentukan :
   a) percepatan gerak ember
   b) tegangan tali pada ember 1
   c) tegangan tali pada ember 2
   
   Pembahasan
   a) percepatan gerak ember
   Tinjau katrol
   
   
   
   Tinjau ember 1
   
   
   
   ( Persamaan 2 )
   
   Tinjau ember 2
   
   
   
   ( Persamaan 3 )
   
   Gabung 2 dan 3
   
   
   
   ( Persamaan 4 )
   
   Gabung 1 dan 4
   
   
   
   b) tegangan tali pada ember 1
   Dari persamaan 2
   
   
   
   c) tegangan tali pada ember 2
   Dari persamaan 3
   
   
3. Sebuah katrol silinder pejal dengan massa M = 4 kg berjari-jari 20 cm dihubungkan dengan dua buah massa m₁ = 5 kg dan m₂ = 3 kg dalam kondisi tertahan diam kemudian dilepaskan.
   
   
   
   Jika lantai dibawah m₁ licin , tentukan percepatan gerak kedua massa!
   
   
   
4. Pembahasan
   Tinjau katrol M
   
   
   
   ( Persamaan 1 )
   
   Tinjau m₂
   
   
   
   ( Persamaan 2 )
   
   Tinjau m₁
   
   
   
   ( Persamaan 3 )
   
   Gabung 2 dan 3
   
   
   
   
5. ( Persamaan 4 )
   
   
6. Sebuah silinder pejal bermassa 10 kg berada diatas permukaan yang kasar ditarik gaya F = 50 N seperti diperlihatkan gambar berikut!
   
   
   
   Tentukan percepatan gerak silinder jika jari-jarinya adalah 40 cm!
   
   Pembahasan
   Tinjau gaya-gaya pada silinder :
   
   
   
   ( Persamaan 1 )
   
   
   
   
   
   ( Persamaan 2 )
   
   Gabung 1 dan 2
   
   
7. Bola pejal bermassa 10 kg mula-mula diam kemudian dilepaskan dari ujung sebuah bidang miring dan mulai bergerak transalasi rotasi. Jari-jari bola adalah 1 meter, dan ketinggian h = 28 m.
   
   
   
   Tentukan kecepatan bola saat tiba di ujung bawah bidang miring!
   
   Pembahasan
   Hukum Kekekalan Energi Mekanik :
   
    
8.  Sebuah roda berputar dari kecepatan 10 rad/s menjadi 70 rad/s karena mendapat momen gaya tetap dalam waktu 3 sekon. Jika momen kelembaman roda 4 kg m2, tentukanlah besar momen gaya tersebut.

          Jawab:
          Diketahui: ω_o = 10 rad/s 

                             ω = 70 rad/s  

                              I = 4 kg m2 

                              t = 3 s

          Ditanya: τ =......?

          τ=Iα
          τ=I.[(ω–ω_o)/t]
           τ=4.[(70rad/s–10rad/s)/3s]
           τ = 80 Nm

7.Sebuah silinder pejal berjari-jari 15 cm dan bermassa 2 kg dijadikan katrol untuk sebuah sumur, seperti tampak pada gambar. Batang yang dijadikan poros memiliki permukaan licin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan, digulung pada silinder. Kemudian, sebuah ember bermassa 1 kg diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan ember saat jatuh ke dalam sumur.

Jawab

Diketahui: R = 15 cm, massa katrol silinder M = 2 kg, dan massa ember m = 1 kg.

Rotasi pada katrol silinder:
Berdasarkan pesamaan momen gaya didapatkan
τ = Iα
RT = Ia/R
T = (I.a)/R² …. (a)

Translasi pada ember:
Berdasarkan Hukum Newton didapatkan

ƩF = m.a

mg – T = ma …. (b)

Dengan menggabungkan Persamaan (a) dan Persamaan (b), diperoleh hubungan.

Selanjutnya, substitusikan harga I = ½ M R2 pada Persamaan (c) sehingga diperoleh

dengan m adalah massa ember dan M adalah massa katrol silinder.

8.

Sebuah benda pejal bermassa M dan berjari-jari R, memiliki momen inersia I = kMR². Benda tersebut menggelinding pada suatu bidang miring dengan sudut kemiringan, seperti tampak pada gambar.
a. Berapakah percepatan yang dialami benda pejal tersebut?
b. Tentukanlah percepatan yang terjadi, jika benda itu berupa bola dengan momen inersia I =(2/5)MR², atau silinder dengan I = ½ MR².

Jawab
Diketahui: I benda pejal = kMR².

a. Menurut Hukum Kedua Newton pada gerak translasi, diperoleh hubungan

Mg sin θ – f = Ma atau Ma + f = Mg sin θ …. (a)

Berdasarkan prinsip rotasi terhadap pusat benda, berlaku hubungan

τ = Iα → f R = kMR α→ f = kMa …. (b)

Substitusikan Persamaan (b) ke dalam Persamaan (a), diperoleh

Ma + kMa = Mg sinθ ⇨ a = (g sinθ) / (k +1)

b. Untuk silinder dengan k = ½ , diperoleh

a = (g sinθ) / ( ½ + 1) = (2/3) (g sinθ)

9. seorang anak dengan kedua lengan berada dalam pangkuan sedang berputar pada suatu kursi putar dengan 1,00 putaran/s. Ketika ia merentangkan kedua lengannya, ia diperlambat sampai 0,40 putaran/s. Tentukan perbandingan:
a. momen inersia gabungan anak + kursi sebelum dan sesudah kedua lengannya direntangkan
b. energi kinetik sebelum dan sesudahnya

 jawab:
 ω₁= 1 rps (sebelum merentangkan tangan)
ω₂= 0,4 rps (sesudah merentangkan tangan)

a). Gunakan Hukum Kekekalan momentum sudut
=> L₁= L₂
=>I₁ω₁= I₂ω₂
=>I₁(1) = I₂(0,4)
maka : I₁: I₂= 0,4 : 1
atau : I₁: I₂= 2 : 5

b). Rumus energi kinetik rotasi adalah : Ekr = ½ I ω²
Maka :
Ekr₁= ½ I₁ω₁² dan Ekr₂= ½ I₂ω₂²
Sehingga perbandingan :
Ekr₁: Ekr₂= (I₁/ I₂).(ω₁: ω₂)²
Ekr₁: Ekr₂= (2/5) . (5/2)² = 5/2
Ekr₁: Ekr₂= 5 : 2

 10. pada sistem keseimbangan benda tegar, AB adalah batang homogen panjang 80 cm, beratnya 18 N, berat beban 30 N. BC adalah tali. Berapa tegangan pada tali (dalam newton) jika jarak AC = 60 cm?
(gambar no. 2 ini berbentuk siku2, dengan siku2 di A, B sejajar horizontal dengan A, dan C sejajar vertikal dengan A. BC adalah sisi miring. pada B, tergantung beban)

Jawab:
 Langkah 1.
Gambarkan semua gaya-gaya pada tongkat AB, yaitu :
Wt = 80 N (berat tongkat - ke bawah) => letak ditengah AB
Wb = 30 N (berat beban di B -m kebawah) => letaknya di B
T = gaya tegangan tali (pada garis BC - arah dari B ke C)

Langkah 2.
● hitung sudut ABC (α) => tan α = AC/AB = 60/80 = 3/4
sehingga diperoleh : α = 37º
● buat garis tegak lurus, dari titik A ke BC
(garis ini kita beri nama d, dimana d tegak lurus BC)
=> d = AB sin α
=> d = 80 sin 37º = 48 cm
(d = jarak gaya tegang tali T ke titik A)

Langkah 3.
Ambil resultan momen di titik A (A sebagai poros).
Στ (di A) = 0
Στ (di A) = Wt.d1 + Wb.d2 - T.d = 0
======> 80.(40) + 30.(80) - T.(48) = 0
======> 3200 + 2400 = 48.T
======> 5600 = 48.T
======> T = 5600/48 = 116,67 N

Catatan :
untuk mencari gaya tegangan tali (T) pada soal-soal sejenis di atas, kamu ga perlu menghitung : ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 (syarat setimbang translasi), Tapi cukup dengan memperhitungkan syarat setimbang rotasinya saja, yaitu Στ = 0.

11. Dua silinder homogen disusun seporos dengan panjang dan massanya masing-masing: l₁ = 5 cm ; m₁ = 6 kg ; l₂ = 10 cm ; m₂ = 4 kg.
Tentukan letak titik berat sistem silinder tersebut !
Jawab:
Kita ambil ujung kiri sebagai acuan, maka:
x₁ = 0.5 . l₁ = 2.5 cm
x₂ = l₂ + 0.5 . l₁ = 5 + 5 = 10 cm
X = (å m_i . x_i)/(m_i)
X = (m₁.x₁) + (m₁.x₁)/(m₁ + m₂)
X = (6 . 2.5 + 4 . 10)/(6 + 4)
X = (15 + 40)/(10) = 5.5 cm
Jadi titik beratnya terletak 5.5 cm di kanan ujung m

KATA PENGANTAR.

Segala puji dan syukur yang tiada terhingga selalu kami panjatkan kehadirat ALLAH.

S.W.T. hanya berkat rahmat dan hidayangnya kami dapat menyelesaikan makalah  ini

            Makalah ini disusun berdasarkan sumber-sumber akurat dan terpecaya. Serta ranggkuman berbagai pemahaman yang Di  miliki, sehingga menjadi karya yang sederhana akan tapi menarik untuk di baca

            Pembaca dapat dengan mudah memahami serta menambah wawasan tentang dinamika rotasi.

            Semoga makalah ini dapat mendampingi pembaca mencapai sukses merai cita-cita. Namun makalah ini jauh dari sempurnah, karena itu kami dengan senang hati akan menerima saran dan kritik dari pembaca.

                                                                                               

Ambon, 15-02-2013

           

                                                                                                        Penulis